Question

18．如圖，已知直線y=kx+b與y=mx+n交于點P（1，4），它們分別與x軸交于A、B，PA=PB=2$\sqrt{5}$．
（1）求兩個函數的解析式；
（2）若BP交y軸于點C，求四邊形PCOA的面積．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥x軸于H，如圖，由P點坐標得PH=4，OH=1，先利用勾股定理可計算出BH=2，則OB=BH-OH=1，得到B點坐標為（-1，0），設AH=t，則AB=t+2，PA=AB=t+2，在Rt△PAH中，根據勾股定理得到4²+t²=（t+2）²，解得t=3，則OA=OH+AH=4，得到A點坐標為（4，0），然后利用待定系數法求兩函數解析式；
（2）先確定C點坐標為（0，2），然后根據三角形面積公式和四邊形PCOA的面積=S_△PAB-S_△BCO進行計算．

解答 解：（1）作PH⊥x軸于H，如圖，
∵P點坐標為（1，4），
∴PH=4，OH=1，
∵PB=2$\sqrt{5}$，
∴BH=$\sqrt{{PB}^{2}{-PH}^{2}}$=2，
∴OB=BH-OH=1，
∴B點坐標為（-1，0），
設AH=t，則AB=t+2，PA=AB=t+2，
在Rt△PAH中，
∵PH²+AH²=PA²，
∴4²+t²=（t+2）²，解得t=3，
∴OA=OH+AH=1+2=3，
∴A點坐標為（3，0），
把A（3，0），P（1，4）代入y=kx+b得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$；
把B（-1，0），P（1，4）代入y=mx+n
得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴兩函數解析式分別為y=-2x+6；y=2x+2；

（2）把x=0代入y=2x+2得y=2，則C點坐標為（0，2），
四邊形PCOA的面積=S_△PAB-S_△BCO
=$\frac{1}{2}$×5×4-$\frac{1}{2}$×1×2
=9．

點評 本題考查了兩直線相交或平行的問題，關鍵是掌握兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．