Question

（本題滿分12分）如圖，已知拋物線經過點B（－1，0）、C（3，0），交y軸于點A，

（1）求此拋物線的解析式；

（2）拋物線第一象限上有一動點M，過點M作MN⊥軸，垂足為N，請求出的最大值，及此時點M坐標；

（3）拋物線頂點為K，KI⊥x軸于I點，一塊三角板直角頂點P在線段KI上滑動，且一直角邊過A點，另一直角邊與x軸交于Q（m，0），請求出實數m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

(1) y=－x2+2x+3;(2)(2,3);(3)

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線y=ax2+bx+3經過點B（－1,0）、C（3,0）,可得方程組，解得，a,b

從而求出拋物線的解析式；(2) 第一象限上有一動點M(x, －x2+2x+3), MN⊥軸,根據列出關于x函數關系式，根據二次函數的性質求出m的坐標即可.(3) 過A作AR⊥KI于R點，則AR=KR =1.

當Q在KI左側時，△ARP∽△PIQ.設PI=n，則RP=3－n，，即n2－3n－m＋1=0,解出方程;

當Q在KI右側時，Rt△APQ中，AR =RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5即可.

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經過點B（－1,0）、C（3,0）,

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=－x2+2x+3.

（2）.

∴最大值為7，點M坐標為(2,3)

（3）過A作AR⊥KI于R點，則AR=KR =1

當Q在KI左側時，△ARP∽△PIQ.

設PI=n，則RP=3－n，

∴，即n2－3n－m＋1=0，

∵關于n的方程有解，△=（－3）2－4（－m＋1）≥0，

得m≥

當Q在KI右側時，Rt△APQ中，AR =RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5.

即P為點K時，∴m≤5

綜上所述，m的變化范圍為：

考點：二次函數的綜合應用