Question

5．如圖所示，函數y₁=x（x＞0），y₂=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象交于點A，與直線x=3分別交于B，C兩點，給出以下四個結論：
①當x＞2時，y₂＜y₁；
②$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$；
③BC=$\frac{5}{3}$；
④在y₂=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上取一點P，使S_△PBC=2S_△ABC，則P點坐標為（1，4）．
其中正確的結論有①②③（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 根據題意得出A點坐標，進而得出當x＞2時，y₂＜y₁，再利用相似三角形的判定與性質得出$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，求出BD，DC的長即可得出BC的長，結合P點到x=3的距離得出P點橫坐標進而得出答案．

解答 解：由題意可得：當x=$\frac{4}{x}$，
解得：x₁=2，x₂=-2，
則y₁=2，
故A（2，2），
當x＞2時，y₂＜y₁，故①正確；
過點A作AE⊥x軸，
則△OAE∽△OBD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
故②正確，
當x=3時，BD=3，CD=$\frac{3}{4}$，
∴BD-CD=BC=$\frac{5}{3}$，故③正確；
在y₂=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上取一點P，
使S_△PBC=2S_△ABC，則點P到直線x=3的距離是AF的2倍，即為2，
則P點的橫坐標為1或5，
所以，P點坐標為：（1，4）或（5，$\frac{4}{5}$），
y₂=ax²+bx（a≠0），
如圖所示，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評 此題主要考查了反比例函數綜合以及相似三角形的判定與性質、三角形面積求法等知識，利用數形結合得出P點坐標是解題關鍵．