Question

1．如圖1，已知直線l：y=kx+4k和拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1，直線l交x軸于A；
（1）若直線l與拋物線交于B、C兩點，當k=1時，求△OBC的面積；
（2）若直線l與拋物線交于B、C兩點，過B、C兩點分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N兩點，當k的值發生變化時，試問：AM•AN的值是否發生變化？若不變，求出其值；若變化，請求出其值變化的范圍；
（3）如圖2，P為拋物線上的一個動點，過P作PQ⊥x軸于點Q，以P為圓心PQ為半徑作⊙P，當P點運動時，⊙P始終經過y軸上的一個定點D，求D到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與直線方程求得交點B、C的坐標，然后結合三角形的面積公式來求△OBC的面積；
（2）由拋物線與直線方程得到$\frac{1}{4}$x²-kx+1-4k，根據根與系數的關系求得x_B+x_C=4k，x_B•x_C=4（1-4k），易得點A的坐標，所以AM•AN=（x_B+4）•（x_C+4）=20，20是定值；
（3）當DA⊥l時D到l的距離最大．利用勾股定理和二次函數最值的求法進行解答即可．

解答 解：（1）如圖1，連接OB、OC．
∵k=1，
∴直線l為y=x+4．
$由\left\{\begin{array}{l}y=x+4\\ y=\frac{1}{4}{x^2}+1\end{array}\right.得B（-2，2），C（6，10）$，E（0，4），
∴${S_{△OBC}}={S_{△OEB}}+{S_{△OEC}}=\frac{1}{2}OE|{x_B}|+\frac{1}{2}OE|{x_C}|=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×6=16$；

（2）$由\left\{\begin{array}{l}y=kx+4k\\ y=\frac{1}{4}{x^2}+1\end{array}\right.得\frac{1}{4}{x^2}-kx+1-4k=0$，
∴x_B+x_C=4k，x_B•x_C=4（1-4k）由y=kx+4k得A（-4，0），
∴AM•AN=（x_B+4）•（x_C+4）=x_Bx_C+4（x_B+x_C）+16
=4（1-4k）+4×4k+16=20；

（3）如圖2，$設P（t，\frac{1}{4}{t^2}+1），作PF⊥y軸于F，連PD$．
∴$FD=\sqrt{P{D^2}-P{F^2}}=\sqrt{P{Q^2}-P{F^2}}=\sqrt{{{（\frac{1}{4}{t^2}+1）}^2}-t{\;}^2}=\frac{1}{4}{t^2}-1$，
∴$OD=OF-FD=\frac{1}{4}{t^2}+1-（\frac{1}{4}{t^2}-1）=2$，
∴$D（0，2），AD=2\sqrt{5}$．
∵直線l是繞點A旋轉，d≤DA，
∴當DA⊥l時D到l的距離最大，
∴$最大值是2\sqrt{5}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題．解題時需要掌握拋物線與直線交點的求法，二次函數最值的求法，根與系數的關系以及三角形的面積計算．綜合性較強，難度適中．運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．