Question

10．如圖，O為矩形ABCD內的一點，滿足OD=OC，若O點到邊AB的距離為d，到邊DC的距離為3d，且OB=2d，求該矩形對角線的長2$\sqrt{7}$d．

Answer 1

分析 由等腰三角形的性質求出∠OBC=∠OCB，由矩形的性質求出AD=BC，∠ABC=∠DCB=90°，求出∠ABO=∠DCO，根據SAS推出△ABO≌△DCO，得出OA=OB，過O作MN⊥AB與N交CD于M，則AN=BN，NM⊥CD，OM=3d，ON=d，由勾股定理求出BN，得出AB，再由勾股定理求出AC即可．

解答 證明：∵OD=OC，
∴O在CD的垂直平分線線上，∠ODC=∠OCD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD，
即∠ADO=∠BCO，
在△ADO和△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠ADO=∠BCO}&{\;}\\{OD=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△BCO（SAS），
∴OA=OB，
∴O在AB的垂直平分線上，
過O作MN⊥AB與N交CD于M，如圖所示：
則AN=BN，NM⊥CD，OM=3d，ON=d，
∴BC=MN=3d+d=4d，BN=$\sqrt{O{B}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{（2d）^{2}-p9vv5xb5^{2}}$=$\sqrt{3}$d，
∴AB=AN+BN=2$\sqrt{3}$d，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}d）^{2}+（4d）^{2}}$=2$\sqrt{7}$d；
故答案為：2$\sqrt{7}$d．

點評 本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，勾股定理；解此題的關鍵是推出△ABO≌△DCO，由勾股定理求出BN得出AB．