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8.如圖,直線y=x和直線y=-x+5相交于點M,直線PQ⊥x軸,分別交直線y=-x+5和直線y=x于點P、Q,點R是y軸上一點,若△PQR為等腰直角三角形.求點R的坐標.

分析 首先求出PQ的長,分三種情況進行討論:①如圖1,當PR=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,根據PQ=PR列方程求得;②如圖2,當RQ=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,根據PQ=RQ列方程求得;③如圖3,當∠PRQ=90°時,△PQR為等腰直角三角形,根據2RB=PQ列方程求得.

解答 解:設直線PQ的解析式為:x=h,
∴P(h,-h+5)、Q(h,h),
∴PQ=-h+5-h=5-2h,
分三種情況:
①如圖1,過P作PR⊥y軸于R,連接RQ,
當PR=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,
∴h=5-2h,
h=$\frac{5}{3}$,
∴-h+5=-$\frac{5}{3}$+5=$\frac{10}{3}$,
∴R(0,$\frac{10}{3}$);
②如圖2,過Q作QR⊥y軸于R,連接RP,
當RQ=PQ時,△PQR為等腰直角三角形,
∴h=5-2h,
h=$\frac{5}{3}$,
∴R(0,$\frac{5}{3}$);
③如圖3,作線段PQ的中垂線l,交y軸于R,交PQ于B,連接PR、RQ,則PR=RQ,
當∠PRQ=90°時,△PQR為等腰直角三角形,
∴∠PRB=∠QRB=45°,
∴△PBR和△BRQ都是等腰直角三角形,
∴2RB=2BQ=PQ,
則2h=5-2h,
h=$\frac{5}{4}$,
∴OR=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$(5-2h)=$\frac{5}{4}$+$\frac{5}{2}$-h=$\frac{5}{2}$,
∴R(0,$\frac{5}{2}$);
綜上所述,若△PQR為等腰直角三角形.點R的坐標是(0,$\frac{10}{3}$)或(0,$\frac{5}{3}$)或(0,$\frac{5}{2}$).

點評 本題考查了兩直線相交問題以及等腰直角三角形的性質和判定,有難度,根據數形結合的思想進行分類討論是解本題的關鍵,等量關系是根據等腰直角三角形的性質列方程求解,注意不要漏解.

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