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如圖,以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓,經過A,B兩點,且與BC邊交于點E,D為BE的下半圓弧的中點,連接AD交BC于F,若AC=FC.

(1)求證:AC是⊙O的切線:

(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半徑r.

 


【考點】切線的判定.

【分析】(1)連接OA、OD,求出∠D+∠OFD=90°,推出∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,求出∠OAD+∠CAF=90°,根據切線的判定推出即可;

(2)OD=r,OF=8﹣r,在Rt△DOF中根據勾股定理得出方程r2+(8﹣r)2=(2,求出即可.

【解答】(1)證明:

連接OA、OD,

∵D為弧BE的中點,

∴OD⊥BC,

∠DOF=90°,

∴∠D+∠OFD=90°,

∵AC=FC,OA=OD,

∴∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,

∵∠CFA=∠OFD,

∴∠OAD+∠CAF=90°,

∴OA⊥AC,

∵OA為半徑,

∴AC是⊙O切線;

(2)解:∵⊙O半徑是r,

∴OD=r,OF=8﹣r,

在Rt△DOF中,r2+(8﹣r)2=(2

r=6,r=2(舍),當r=2時,OB=OE=2,OF=BF﹣OB=8﹣2=6>OE,∴y舍去;

即⊙O的半徑r為6.,

【點評】本題考查了切線的判定,等腰三角形的性質和判定,勾股定理等知識點的應用,主要考查學生的推理和計算的能力.

 

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