Question

已知：P為⊙O外一點，PQ切⊙O于Q，PAB、PCD是⊙O的割線，且∠PAC=∠BAD．求證：PQ²-PA²=AC•AD．

Answer 1

分析：由切割線定理得PQ²=PA•PB，可將PQ²-PA²變形為PA•AB，根據圓內接四邊形的性質得∠PCA=∠B，已知∠PAC=∠BAD，可證△PAC∽△DAB，得

PA

AD

=

AC

AB

，即PA•AB=AC•AD，證明結論．

解答：證明：如圖，∵PQ為⊙O的切線，PAB為⊙O的割線，
由切割線定理，得PQ²=PA•PB，
∴PQ²-PA²=PA•PB-PA²=PA（PB-PA）=PA•AB，
由圓內接四邊形的性質，得∠PCA=∠B，又∠PAC=∠BAD，
∴△PAC∽△DAB，
∴

PA

AD

=

AC

AB

，
即PA•AB=AC•AD，
∴PQ²-PA²=AC•AD．

點評：本題考查了切割線定理、圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定與性質的運用．關鍵是根據題意，找到證題的突破口．