Question

（本題10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E．

（1）填空：雙曲線的另一支在第 象限，的取值范圍是 ；

（2）若點C的坐標為（1，1），請用含有的式子表示陰影部分的面積S．并回答：當點E在什么位置時，陰影部分面積S最��？

（3）若，，求雙曲線的解析式．

 

Answer 1

（1）三，k＞0；（2），E點的坐標為（1，），即E點為BC的中點，陰影部分的面積S最��；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據反比例函數圖象與性質得到：雙曲線的一支在第一象限，則k＞0，得到另一支在第三象限；

（2）根據梯形的性質，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點C的坐標為（1，1），則A點的縱坐標為1，E點的橫坐標為1，B點坐標為（1，0），再分別把y=1或x=1代入可得到A點的坐標為（k，1），E點的坐標為（1，k），然后計算S陰影部分=S△ACE+S△OBE=，配方得，當k=時，S陰影部分最小值為，則E點的坐標為（1，），即E點為BC的中點；

（3）設D點坐標為（，），由，則2OD=OC，即D點為OC的中點，于是C點坐標為（，），得到A點的縱坐標為，把代入得，確定A點坐標為（，），根據三角形面積公式由S△OAC=2得到，然后解方程即可求出k的值．

試題解析：（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，而點C的坐標為（1，1），

∴A點的縱坐標為1，E點的橫坐標為1，B點坐標為（1，0），

把y=1代入得x=k；把x=1代入得y=k，

∴A點的坐標為（k，1），E點的坐標為（1，k），

∴S陰影部分=S△ACE+S△OBE==，

當時，S陰影部分最小，最小值為；

∴E點的坐標為（1，），即E點為BC的中點，

∴當點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最��；

（3）設D點坐標為（，），∵，∴2OD=OC，即D點為OC的中點，

∴C點坐標為（，），∴A點的縱坐標為，

把代入得，∴A點坐標為（，），

∵S△OAC=2，∴，∴，∴雙曲線的解析式為．

考點：反比例函數綜合題．