Question

11．如圖所示．在?ABCD中．E、F分別是邊AD、BC上的點，連接AF、BE交于點G：連接CE、DF交于點H，連接GH．
（1）當E、F分別是AD、BC的中點時，求證：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）試猜想，當AE與BF滿足什么條件時．GH∥AD且GH=$\frac{1}{2}AD$．

Answer 1

分析 （1）可分別證明四邊形AFCE是平行四邊形，四邊形BFDE是平行四邊形，從而得出GF∥EH，GE∥FH，即可證明四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）根據已知條件證得四邊形ABFE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到EG=BG，同理EH=CH，根據三角形的中位線定理得到②成立；不能證明四邊形AFCE不是平行四邊形，四邊形不是BFDE是平行四邊形，從而得出GF不平行EH，GE不平行FH，于是得到四邊形EGFH不是平行四邊形，①不成立．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=$\frac{1}{2}$AD，FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE∥FC，AE=FC．
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∴GF∥EH．
同理可證：ED∥BF且ED=BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∴GE∥FH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）當AE=BF時．GH∥AD且GH=$\frac{1}{2}AD$．
理由：連接EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=BF，
∴DE=CF，
∵AE∥BF，DE∥CF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，討論四邊形EFCD是平行四邊形，
∴AG=FG，FH=DH，
GH=$\frac{1}{2}$AD，GH∥AD．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質，屬于中考�？碱}型．