Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，CA是⊙O的切線，AE平分∠BAC交BC于點E，交CD于點F．
（1）求證：CE=CF；
（2）若sinB=

3

5

，求DF：CF的值．

Answer 1

考點：切線的性質,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據圓周角定理以及切線的性質，以及直角三角形的兩銳角互余即可證得∠AFD=∠AEC，進而證得∠EFC=∠AEC，根據等角對等邊即可證得；
（2）根據切線的性質證明∠ACD=∠B，作FG⊥AC于點G，則FG=DF，利用三角函數的定義即可求解．

解答：（1）證明：∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠AFD+∠DAF=90°．
∵CA是⊙O的切線，
∴∠ACB=90°，
∴∠AEC+∠EAC=90°，
又∵∠DAF=∠EAC，
∴∠AFD=∠AEC，
又∵∠EFC=∠AFD，
∴∠EFC=∠AEC，
∴CE=CF；

（2）解：作FG⊥AC于點G．
∵直角△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
又∵∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴FG=DF，
又∵在直角△CFG中，sin∠ACD=sinB=

FG

FC

=

3

5

，
∴DF：CF=FG：FC=3：5．

點評：本題考查了切線的性質以及圓周角定理，三角函數的性質，正確作輔助線，作出與DF相等的線段是關鍵．