Question

3．圓的半徑為1，AB是圓中的一條弦，AB=$\sqrt{3}$，則弦AB所對的圓周角的度數為60°或120°．

Answer 1

分析 如圖，作OH⊥AB于H，連接OA、OB，∠C和∠C′為AB所對的圓周角，根據垂徑定理得到AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則利用余弦的定義可得到∠OAH=30°，接著根據三角形內角和可計算出∠AOB=120°，然后根據圓周角定理和圓內接四邊形的性質求出∠C和∠C′的度數即可．

解答 解：如圖，作OH⊥AB于H，連接OA、OB，∠C和∠C′為AB所對的圓周角，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OAH=30°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∴∠C′=180°-∠C=120°，
即弦AB所對的圓周角為60°或120°．
故答案為60°或120°．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．