Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，過格點A、B、C作一圓弧．
（1）該圓弧所在的圓心坐標為（2，1）；
（2）連結AC，求線段AC和弧AC所圍成圖形的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根據垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．
（2）連接DA、DC、AC，由勾股定理求出AD=DCDA=DC=$\sqrt{10}$，AC=2$\sqrt{5}$，得出DA²+DC²=AC²，由勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結果．

解答 解：（1）作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心，
如圖1所示，圓心D的坐標為（2，1）；
故答案為：（2，1）；
（2）連接DA、DC，如圖2所示：
則DA=DC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DA²+DC²=AC²，
∴△ADC是等腰直角三角形，∠ADC=90°，
∴線段AC和弧AC所圍成圖形的面積
=扇形ADC的面積-△DAC的面積
=$\frac{90π×（\sqrt{10}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$
=$\frac{5π}{2}$-5．

點評 本題考查了垂徑定理、坐標與圖形性質、勾股定理、扇形面積的計算；熟練掌握垂徑定理，通過作圖求出圓心坐標是解決問題的關鍵．