Question

已知：關(guān)于mx²-（3m+2）x+2m+2=0．
（1）求證：方程有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，若有一邊長(zhǎng)為3的等腰三角形，它的另外兩邊長(zhǎng)分別是方程的兩根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：①當(dāng)m=0，方程變形為：2x+2=0，原方程的解為x=-1；
②當(dāng)m≠0，
△=（3m+2）²-4×m×（2m+2）
=m²+4m+4
=（m+2）²，
∵（m+2）²≥0，
∴△≥0，
此時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
∴綜上所述，m為任意實(shí)數(shù)，方程有實(shí)數(shù)根；
（2）∵原方程有兩根，
∴m≠0，
∴x==，
∴x=或1，
當(dāng)腰為3，則=3，解得m=2，
此時(shí)三角形的周長(zhǎng)=3+3+1=7；
當(dāng)腰長(zhǎng)為1，則=1，解得m=-2，則1+1＜3，不符合三角形三邊的關(guān)系，故舍去．
所以當(dāng)m=2時(shí)三角形的周長(zhǎng)為7．
分析：（1）分類：①當(dāng)m=0，方程變?yōu)橐辉�一次方程有�?shí)數(shù)根；②當(dāng)m≠0，計(jì)算△，得到△=（m+2）²≥0，根據(jù)△的運(yùn)用即可得到此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用求根公式解一元二次方程得到方程的解為x=或1，然后討論：當(dāng)腰為3或當(dāng)腰長(zhǎng)為1，分別計(jì)算出周長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了分類討論思想的運(yùn)用以及利用求根公式解一元二次方程．