Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是關于m的函數，且y=x₂-2x₁，求這個函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）運用根的判別式判斷，列出判別式的表達式，再變形成為非負數，得出△≥0即可；
（2）可根據求根公式求出x₁，x₂，代入y=x₂-2x₁中，得出關于m的函數關系式．

解答：（1）證明：∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）是關于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²，
∵m＞0，
∴（m+2）²＞0，即△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：由求根公式，得 x=

(3m+2)±(m+2)

2m

．
∴x=

2m+2

m

或x=1，
∵

2m+2

m

=2+

2

m

，m＞0，
∴

2m+2

m

=2+

2

m

＞2，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x₂=2+

2

m

，
∴y=x₂-2x₁=2+

2

m

-2×1=

2

m

，即 y=

2

m

（m＞0），
∴該函數的解析式是：y=

2

m

（m＞0）．

點評：本題重點考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系．是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．