Question

（2012•延慶縣二模）已知：關于x的一元二次方程mx²-（2m+2）x+m-1=0
（1）若此方程有實根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，且m取最小的整數，求此時方程的兩個根；
（3）在（2）的前提下，二次函數y=mx²-（2m+2）x+m-1與x軸有兩個交點，連接這兩點間的線段，并以這條線段為直徑在x軸的上方作半圓P，設直線l的解析式為y=x+b，若直線l與半圓P只有兩個交點時，求出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據關于x的一元二次方程有實根得m≠0，且△≥0從而得到12m+4≥0求得m的取值范圍即可；
（2）在（1）的條件下，當m取最小的整數時m=1，于是原方程化為：x²-4x=0，解得即可；
（3）根據當直線l經過原點O時與半圓P有兩個交點，即b=0，當直線l與半圓P相切于D點時有一個交點時得到b=2

2

-2，從而得到當0≤b＜2

2

-2時，直線l與半圓P只有兩個交點．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程有實根∴m≠0，且△≥0
∴△=（2m+2）²-4m（m-1）=12m+4≥0
解得m≥-

1

3

∴當m≥-

1

3

，且 m≠0時此方程有實根；

（2）∵在（1）的條件下，當m取最小的整數，
∴m=1
∴原方程化為：x²-4x=0
x（x-4）=0       
x₁=0，x₂=4 

（3）解：如圖所示：①當直線l經過原點O時與半圓P有兩個交點，即b=0
②當直線l與半圓P相切于D點時有一個交點，如圖由題意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，
∵DP=2∴EP=2

2

…．（6分）
∴OC=2

2

-2即b=2

2

-2
∴當0≤b＜2

2

-2時，直線l與半圓P只有兩個交點．

點評：本題具有較強的綜合性，考查了一元二次方程的根的情況，二次函數與對應的一元二次方程的聯系，討論一次函數與半圓的交點的情況．