Question

已知：關于mx²-（3m+2）x+2m+2=0．
（1）求證：方程有實數根；
（2）當m＞0時，若有一邊長為3的等腰三角形，它的另外兩邊長分別是方程的兩根，求這個等腰三角形的周長．

Answer 1

分析：（1）分類：①當m=0，方程變為一元一次方程有實數根；②當m≠0，計算△，得到△=（m+2）²≥0，根據△的運用即可得到此時方程有兩個不相等的實數根；
（2）利用求根公式解一元二次方程得到方程的解為x=

2m+2

m

或1，然后討論：當腰為3或當腰長為1，分別計算出周長．

解答：（1）證明：①當m=0，方程變形為：2x+2=0，原方程的解為x=-1；
②當m≠0，
△=（3m+2）²-4×m×（2m+2）
=m²+4m+4
=（m+2）²，
∵（m+2）²≥0，
∴△≥0，
此時方程有兩個實數根；
∴綜上所述，m為任意實數，方程有實數根；
（2）∵原方程有兩根，
∴m≠0，
∴x=

3m+2± (m+2)2

2m

=

3m+2±(m+2)

2m

，
∴x=

2m+2

m

或1，
當腰為3，則

2m+2

m

=3，解得m=2，
此時三角形的周長=3+3+1=7；
當腰長為1，則

2m+2

m

=1，解得m=-2，則1+1＜3，不符合三角形三邊的關系，故舍去．
所以當m=2時三角形的周長為7．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了分類討論思想的運用以及利用求根公式解一元二次方程．