Question

14．如圖，正方形OABC，ADEF的頂點A、D、C在坐標軸上，點F在AB 上，點B、E在函數$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上，若陰影部分的面積為12-$4\sqrt{5}$，則點E的坐標是（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）．

Answer 1

分析 根據反比例函數系數k的幾何意義得到S_{正方形OABC}=S_矩形ODEG=4，則S_矩形BCGF=S_{正方形ADEF}，所以S_{正方形ADEF}=6-2$\sqrt{5}$，利用正方形的性質可計算出正方形的邊長AD=DE=$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-1，則E點的縱坐標為$\sqrt{5}$-1，然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征可確定E點坐標．

解答 解：∵四邊形OABC，ADEF為正方形，
∴S_{正方形OABC}=S_矩形ODEG=4，
∴S_矩形BCGF=S_{正方形ADEF}，
而陰影部分的面積為12-$4\sqrt{5}$，
∴S_{正方形ADEF}=6-2$\sqrt{5}$，
∴AD=DE=$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-1，
當y=$\sqrt{5}$-1時，x=$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$=$\sqrt{5}$+1，
∴E點坐標為（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）．
故答案為（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）．

點評 本題考查了反比例函數系數k的幾何意義：在反比例函數y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．