Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，下列結論中：
①BD=BC=AD；②S_△ABD：S_△BCD=AD：DC；③BC²=CD•AC；④若AB=2，則BC=$\sqrt{2}$-1，
其中正確結論的個數是4個．

Answer 1

分析 在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，可推出△BCD，△ABD為等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正確；由三角形的面積公式得出②正確；利用三角形相似的判定與性質得出③④正確，即可得出結果．

解答 解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于點D，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正確；
②△ABD與△BCD在AC邊上的高相等，
故△ABD與△BCD的面積比等于對應底邊的比，
∴②正確；
③由①的條件可證△BCD∽△ACB，
則BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AC，
∴③正確；
④設BC=x，則AC=AB=2，CD=AC-AD=2-x，
由BC²=CD•AC，得x²=（2-x）•2，
解得x=±$\sqrt{5}$-1（舍去負值），
∴BC=$\sqrt{5}$-1，
∴④正確．
正確的有4個，
故答案為：4．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質，相似三角形判定與性質．明確圖形中的三個等腰三角形的特點與關系是解決問題的關鍵．