Question

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF＝∠CBG。

求證：（1）AF＝CG；

（2）CF＝2DE

Answer 1

證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB

∴∠BCG=∠CAB=45°

又∵∠ACF=∠CBG，AC=BC

∴△ACF≌△CBG（ASA）

∴CF=BG，AF=CG.

              （2）延長CG交AB于點H.

∵AC=BC，CG平分∠ACB

∴CH⊥AB，H為AB中點

又∵AD⊥AB

∴CH∥AD

∴G為BD的中點

∴BG=DG

∠D=∠EGC

∵E為AC中點

∴AE=EC

又∵∠AED=∠CEG

∴△AED≌△CEG（AAS）

∴DE=EG

∴BG=DG=2DE

由（1）得CF=BG

∴CF=2DE.