Question

如圖，直線與軸、軸分別交于點、，拋物線經過點、，并與軸交于另一點，其頂點為．

（1）求，的值；

（2）拋物線的對稱軸上有一點，使是以為底邊的等腰三角形，求點的坐標．

（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點、，使以為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．

Answer 1

解：(1)∵直線與軸、軸分別交于點、，

       ∴，.

又拋物線經過點，，

∴解得

即，的值分別為，.

（2）設點的坐標為，對稱軸交軸于點，過點作垂直于直線 于點.

在Rt中，，

在Rt中，.

∵，∴，∴.

∴點的坐標為.

（3）當點在對稱軸上時，與不垂直.所以應為正方形的對角線.

又對稱軸是的中垂線，所以，點與頂點重合，點為點關于軸的對稱點，其坐標為.

此時，，且，

∴ 四邊形為正方形.

在Rt中，，即正方形的邊長為.

 

六