Question

（2012•宜賓）如圖，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q兩點，其中⊙O₁的半徑r₁=2，⊙O₂的半徑r₂=

2

．過點Q作CD⊥PQ，分別交⊙O₁和⊙O₂于點C、D，連接CP、DP，過點Q任作一直線AB交⊙O₁和⊙O₂于點A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延長線交于點E．
（1）求證：

PA

PB

=

2

；
（2）若PQ=2，試求∠E度數．

Answer 1

分析：（1）求出PC、PD，證△PAB∽△PCD，推出

PA

PB

=

PC

PD

，代入求出即可；
（2）求出cos∠CPQ=

PQ

PC

=

1

2

，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根據三角形的內角和定理求出即可．

解答：（1）證明：∵⊙O₁的半徑r₁=2，⊙O₂的半徑r₂=

2

，
∴PC=4，PD=2

2

，
∵CD⊥PQ，
∴∠PQC=∠PQD=90°，
∴PC、PD分別是⊙O₁、⊙O₂的直徑，
在⊙O₁中，∠PAB=∠PCD，
在⊙O₂中，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴

PA

PB

=

PC

PD

=

4

2 2

=

2

，
即

PA

PB

=

2

．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r₁=4，PQ=2（已知），
∴cos∠CPQ=

PQ

PC

=

1

2

，
∴∠CPQ=60°，
∵在Rt△PDQ中，PD=2r₂=2

2

，PQ=2，
∴sin∠PDQ=

PQ

PD

=

2

2

，
∴∠PDQ=45°，
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，
又∵CD⊥PQ，
∴∠PQD=90°，
∴PD是⊙O₂的直徑，
∴∠PBD=90°，
∴∠ABE=90°-∠PBQ=45°
在△EAB中，∴∠E=180°-∠CAQ-∠ABE=75°，
答：∠E的度數是75°．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，相切兩圓的性質，三角形的內角和定理，解直角三角形，圓周角定理等知識點的應用，主要培養學生運用性質進行推理的能力，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．