Question

17．（1）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，2）．在x軸上任取一點M，完成下列作圖步驟：
①連接AM，作線段AM的垂直平分線l₁，過M作x軸的垂線l₂，記l₁，l₂的交點為P．
②在x軸上多次改變點M的位置，用①的方法得到相應的點P，把這些點用平滑的曲線連接起來．
觀察畫出的曲線L，猜想它是我們學過的哪種曲線．
（2）對于曲線L上任意一點P，線段PA與PM有什么關系？設點P的坐標為（x，y），你能由PA與PM的關系得到x，y滿足的關系式嗎？你能由此確定曲線L是哪種曲線嗎？你得出的結論與（1）中你的猜想一樣嗎？

Answer 1

分析 （1）根據題意，多取幾個M點畫出圖形即可；
（2）連接AP，過點A作AN⊥PM，根據線段垂直平分線的性質得出AP=PM=y，再由勾股定理即可得出結論．

解答 解：（1）如圖所示：曲線L是拋物線；

（2）連接AP，過點A作AN⊥PM，
∵l₁是線段AM的垂直平分線，P在l₁上，
∴PA=PM=y，
∵PM⊥x軸，
∴AN=x，P（x，y），PN=y-2，
∴AN²+PN²=AP²，
即x²+（y-2）²=y²，
∴y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1．
∴曲線L是拋物線是拋物線．

點評 此題主要考查了復雜作圖，以及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．