Question

如圖1，已知拋物線y=－x2+bx+c經過點A（1,0），B（－3,0）兩點，且與y軸交于點C.

（1）求b，c的值。

（2）在第二象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？求出點P的坐標及△PBC的面積最大值.若不存在，請說明理由.

（3）如圖2，點E為線段BC上一個動點（不與B,C重合），經過B、E、O三點的圓與過點B且垂直于BC的直線交于點F，當△OEF面積取得最小值時，求點E坐標．

 

Answer 1

（1）b=-2,c=3

（2）設的坐標為，直線的解析式為，，的最大值為，此時

（3）E的坐標：

【解析】

試題分析：：（1）將A、B兩點坐標代入即可求出；

（2）假設存在一點P（x，），則△PBC的面積可表示為.從而可求出△PBC的面積最大值及點P的坐標；

（3）根據題意易證，所以，當OE最小時，△OEF面積取得最小值，點E在線段BC上, 所以當OE⊥BC時，OE最小此時點E是BC中點，因此 E（，） .

試題解析：（1） 將A、B兩點坐標代入得：，解得： b=－2，c=3；

（2）存在。理由如下：

設P點

∵

當時， ∴最大＝

當時，

∴點P坐標為（，）

（3）∵∴,而, ,

∴, ∴

∴

∴當最小時，△OEF面積取得最小值.

∵點在線段上, ∴當時，最小.

此時點E是BC中點

∴ （，）.

考點：1.二次函數的定義;2.二次函數的圖像;3.二次函數的最大值和最小值;3.求二次函數的解析式;4.二次函數的應用