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3.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點E,如果點F是弧EC的中點,聯結FB,那么tan∠FBC的值為$\frac{1}{3}$.

分析 連接CE交BF于H,連接BE,根據矩形的性質求出AB=CD=3,AD=BC=5=BE,∠A=∠D=90°,根據勾股定理求出AE=4,求出DE=1,根據勾股定理求出CE,求出CH,解直角三角形求出即可.

解答 解:連接CE交BF于H,連接BE,

∵四邊形ABCD是矩形,AB=3,BC=5,
∴AB=CD=3,AD=BC=5=BE,∠A=∠D=90°,
由勾股定理得:AE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,DE=5-4=1,
由勾股定理得:CE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
由垂徑定理得:CH=EH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
在Rt△BHC中,由勾股定理得:BH=$\sqrt{{5}^{2}-(\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$,
所以tan∠FBC=$\frac{FC}{BH}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{1}{3}$.
故答案為:$\frac{1}{3}$.

點評 本題考查了矩形的性質,勾股定理,解直角三角形,垂徑定理的應用,能正確作出輔助線并構造出直角三角形是解此題的關鍵.

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