Question

13．如圖，△ABC內接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且與OA的延長線交于點D．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2，求CD的長；
（3）在（2）條件下求陰影部分的面積．（結果可含π）．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證明OC⊥DC，利用經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線判定切線即可；
（2）利用等弧所對的圓心角相等和題目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD的長即可；
（3）連接OB，根據等腰三角形的性質得到∠OAB=∠OBA=30°，解直角三角形得到AB=2$\sqrt{3}$，根據圖形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OC，
∵CA=CB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CB}$
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半徑，
∴CD與⊙O相切．

（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OD，
∵OA=OC=2，
∴DO=4，
∴CD=$\sqrt{D{O}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

（3）連接OB，
∵∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠AOC=∠BOC=60°，
∴AO=OA=AC=BC，
∴四邊形ACBO是菱形，
∴S_陰影=S_△ODC+S_扇形COB-S_{四邊形ACBO}=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2+$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，切線的判定，三角形的面積的計算，勾股定理，垂徑定理正確的作出輔助線是解題的關鍵．