Question

如圖11，直線與y軸交于A點，與反比例函數（x＞0）的圖象交

      于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO＝2.

（1）求k的值；

（2）點N（a，1）是反比例函數（x＞0）圖像上的點，

在x軸上是否存在點P，使得PM＋PN最小，若存

在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）由y＝2x＋2可知A（0，2），即OA＝2.………………………………（1分）

∵tan∠AHO＝2，∴OH＝1.………………………………………………（2分）

∵MH⊥x軸，∴點M的橫坐標為1.

∵點M在直線y＝2x＋2上，

∴點M的縱坐標為4.即M（1，4）.…………（3分）

∵點M在y＝上，∴k＝1×4＝4. …………（4分）

（2）∵點N（a，1）在反比例函數（x＞0）上，

     ∴a＝4.即點N的坐標為（4，1）.…………（5分）

過N作N關于x軸的對稱點N₁，連接MN₁，交x軸于P（如圖11）.

此時PM＋PN最小.         ………………………………………………（6分）

∵N與N₁關于x軸的對稱，N點坐標為（4，1），

∴N₁的坐標為（4，－1）.……………………………………………………（7分）

設直線MN₁的解析式為y＝kx＋b.

由  解得k＝－，b＝.…………………………………（9分）

∴直線MN的解析式為.

令y＝0，得x＝. ∴P點坐標為（，0）.………………………（10分）