Question

如圖10，以點M（—1，0）為圓心的圓與軸、軸分別交于點A、B、C、D，直線與⊙M相切于點H，交軸于點E，求軸于點F。

（1）請直接寫出OE、⊙M的半徑r、CH的長；

（2）如圖11，弦HQ交軸于點P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；

（3）如圖12，點K為線段EC上一動點（不與E、C重合），連接BK交⊙M于點T，弦AT交軸于點N。是否存在一個常數，始終滿足MN·MK，如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）如圖①，OE=5，，CH=2

（2）如圖②，連接QC、QD，則，

易知，故，

，，由于，

；

（3）如圖③，連接AK，AM，延長AM，

與圓交于點G，連接TG，則

，

由于，故，；

而，故

在和中，；

故；

;

即：

故存在常數，始終滿足=4

 

【點撥】此題還有其它解法，連BM、BN、AH，易證B、M、H三點共線，且AH平行于x軸，證得△BMN相似△KMB。