Question

如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

（4）如圖10，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.

 

 

Answer 1

略

解析:（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ………………1分

將A、B、C三點的坐標代入得       …………………………2分

解得：                                  …………………………3分

所以這個二次函數的表達式為：      ………………………3分

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）         ……………………1分

設該表達式為：                  …………………………2分

將C點的坐標代入得：                        …………………………3分

所以這個二次函數的表達式為：      …………………………3分

（注：表達式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）方法一：存在，F點的坐標為（2，－3）          …………………………4分

理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：

∴E點的坐標為（－3，0）                          …………………………4分

由A、C、E、F四點的坐標得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

∴存在點F，坐標為（2，－3）                       …………………………5分

方法二：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：

∴E點的坐標為（－3，0）                          …………………………4分

∵以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

∴F點的坐標為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  

代入拋物線的表達式檢驗，只有（2，－3）符合

∴存在點F，坐標為（2，－3）                       …………………………5分

（3）如圖，①當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），

代入拋物線的表達式，解得  …………6分

②當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r>0），

則N（r+1，－r），

代入拋物線的表達式，解得   ………7分

∴圓的半徑為或．   ……………7分

（4）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，

易得G（2，－3），直線AG為．……………8分

設P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．

       …………………………9分

當時，△APG的面積最大

此時P點的坐標為，．………………………10分