Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC=

1

2

AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；
（2）當點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖2中畫出△PCD并說明理由；
（3）如圖3，當點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A與∠P是

BC

對的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；

（2）當點P運動到以OC所在直徑交AB的點上時，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直徑，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
在△PCD和△ABC中，

∠P=∠A ∠PDC=∠ACB AB=PC

，
∴△PCD≌△ABC（AAS）；

（3）∵∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴

AC

=

AP

，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．