Question

6．如圖，拋物線y=-x²+tx（t＞1）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為P（t，0），點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（4，0），分別過點(diǎn)A，B作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，N，連結(jié)MN，PM和PN，設(shè)△MNP的面積為S．
（1）證明：對(duì)于任何t（t＞1），都有∠APM=45°；
（2）當(dāng)t＞4時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t＞4且$S=\frac{21}{8}$時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)AM，AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）利用S=S_△BPN+S_梯形NBAM-S_△PAM，進(jìn)而得出S與t的關(guān)系式；
（3）利用$S=\frac{21}{8}$，進(jìn)而解方程得出答案．

解答 （1）證明：如圖所示：∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為t-1（t＞1），
∴AM=t-1，又AP=t-1，∴AM=AP，
∵M(jìn)A⊥AP，∴∠APM=∠AMP=45°；        

（2）解：如圖所示：當(dāng)t＞4時(shí)，
AP=t-1，BN=4t-16，AM=t-1，BP=t-4，
S=S_△BPN+S_梯形NBAM-S_△PAM，
S=$\frac{1}{2}$×3（t-1+4t-16）+$\frac{1}{2}$（t-4）（4t-16）-$\frac{1}{2}$（t-1）²，
∴S=$\frac{3}{2}$t²-$\frac{15}{2}$t+6（t＞4）；                    

（3）解：令$\frac{3}{2}$t²-$\frac{15}{2}$t+6=$\frac{21}{8}$，
解得：t₁=$\frac{1}{2}$，t₂=$\frac{9}{2}$，
∵t＞4，∴${t_1}=\frac{1}{2}$舍去，
∴$t=\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及圖形面積求法、一元二次方程的解法等知識(shí)，正確表示出BN，AM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．