Question

11．如圖，拋物線y=-（x-h）（x-h+2）（h為常數(shù)）交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M，
（1）當(dāng)h=1時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)h=2時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)（x₁，y₁）（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥1，比較y₁與y₂的大小；
（3）設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y_c，求y_c的最大值；
（4）若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)M，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)h=1時(shí)，拋物線為y=-（x-1）（x+1），解方程即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)h=1時(shí)，拋物線為y=-x（x-2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到結(jié)果；
（4）把拋物線y=-（x-h）（x-h+2）的定點(diǎn)坐標(biāo)M（h-1，1），代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)h=1時(shí)，拋物線為y=-（x-1）（x+1），
令y=0，即-（x-1）（x+1）=0，
解得：x₁=-1，x₂=1，
∴A（-1，0），B（1，0），
∴AB的長(zhǎng)為2；
（2）當(dāng)h=1時(shí)，拋物線為y=-x（x-2），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，a=-1＜0，
∴拋物線的開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，y隨想的增大而減小，
∴當(dāng)x₁＞x₂≥1時(shí)，y₁＜y₂；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=-h²+2h，
∴y_c的最大值=$\frac{-{2}^{2}}{4×（-1）}$=1；
（4）拋物線y=-（x-h）（x-h+2）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：M（h-1，1），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（0＜k≤2）經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)M，
∴k=h-1，
∴0＜h-1≤2，
∴1＜h≤3，
即h的取值范圍為1＜h≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．