Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x=2與x軸相交于點B，連結OA，二次函數y=x²圖象從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動．
（1）求線段OA所在直線的函數解析式；
（2）設二次函數頂點M的橫坐標為m，當m為何值時，線段PB最短，并求出二次函數的表達式；
（3）當線段PB最短時，二次函數的圖象是否過點Q（a，a-1），并說理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法求得即可；
（2）根據題意得到頂點M（m，2m），根據平移的性質和頂點坐標得到拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m，把x=2代入解析式求得P的縱坐標，即可求得PB=m²-2m+4=（m-1）²+3（0≤m≤2），根據二次函數的性質得出當m=1時，PB最短，即可求得當PB最短時，拋物線的解析式為y=（x-1）²+2；
（3）若二次函數的圖象是過點Q（a，a-1），代入解析式得到方程a-1=（a-1）²+2，由于△＜0，此方程無解，說明此二次函數的圖象不過點Q．

解答 解：（1）設直線OA的解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，解得k=2，
∴線段OA所在直線的函數解析式為y=2x；
（2）∵頂點M的橫坐標為m，且在OA上移動，
∴y=2m（0≤m≤2），
∴M（m，2m），
∴拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m，
∴當x=2時，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2），
∴PB=m²-2m+4=（m-1）²+3（0≤m≤2），
∴當m=1時，PB最短，
當PB最短時，拋物線的解析式為y=（x-1）²+2；
（3）若二次函數的圖象是過點Q（a，a-1）
則方程a-1=（a-1）²+2有解．
即方程a²-3a+4=0有解，
∵△=（-3）²-4×1×4=-7＜0．
∴二次函數的圖象不過點Q．

點評 本題考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的最值，一元二次方程的解以及二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．