Question

如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過D作DF⊥BC， 交AB的延長線于E，垂足為F．

(1)求證：直線DE是⊙O的切線；
(2)當AB＝5，AC＝8時，求cosE的值．

Answer 1

（1）證OD⊥DE即可。（2）cosE=

試題分析：如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過D作DF⊥BC， 交AB的延長線于E，垂足為F．

(1)連結OD。易知OA=OD=r，且AB＝BC，∴∠OAD=∠ODA=∠C
所以OD∥CB。所以∠ODE=∠BFE=90°。所以OD⊥DE，垂足為D。
所以直線DE是⊙O的切線。

(2)當AB＝5，AC＝8時，求cosE的值．
解：連結BD。由（1）知OD⊥DE，又因為∠ADB=90°（直徑所對圓周角）
所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE。因為OD∥CB，則∠ODB=∠DBO=∠DBF
所以Rt△ADB∽Rt△DFB。則，已知AB=BC，BD⊥AC。所以AD=AC=4.
所以在Rt△ADB中，BD=3.故3×3=5×BF，解得BF=。易知Rt△EDO∽Rt△EFB
則，解得BE=
所以在Rt△EFB中，cosE＝
點評：本題難度較大，主要考查學生對圓的切線問題與三角形相似判定與性質的掌握。為中考�？碱}型要牢固掌握。