Question

如圖，AB是O的直徑，C為AB延長線上一點，CD交O于點D，且∠A=∠C=30º.

（1）證明CD是的切線；
（2）請你寫出線段BC和AC之間的數量關系，并證明.

Answer 1

（1）連接OD，證明∠ODC=90°

試題分析：（1）證明：連接OD．　　　　　　　　　
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
故DC是⊙O的切線；
（2）∵OD⊥DC，且△OBD是等邊三角形，
∴∠C=∠CDB=30°，BD=OB，
∴BD=BC，
∴OB=BC，
∴OB=BC=OA，
∴AC=3BC．
點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質、切線的判定和性質、直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半．解題的關鍵是連接OD，并證明△OBD是等邊三角形．