Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的頂點O在AB上，OM、ON分別交CA、CB于點P、Q，∠MON繞點O任意旋轉．當$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$時，$\frac{OP}{OQ}$的值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；當$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$時，$\frac{OP}{OQ}$的值為$\frac{\sqrt{3}}{n}$．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根據相似的性質得$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{BC}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BA}$，由于$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$，則$\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{n}{n+1}$，所以$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BC}{n•AC}$，在Rt△ABC中，利用正切的定義得tanB=tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{3}$，所以$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，則Rt△DOP∽Rt△EOQ，則$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，且當n=2時，即$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$時，$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如圖，
∵∠ACB=90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{BC}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BA}$，
∵$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BC}{n•AC}$．
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$；
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
∴當n=2時，即$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$時，$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{n}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等，都等于相似比．