Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，AE⊥BC垂足為點E，（BE＜EC），AE=6$\sqrt{2}$，CD=5$\sqrt{2}$，連接DE，則DE的長為2$\sqrt{17}$或8．

Answer 1

分析 過E作EN⊥AD于N，過C作CM⊥AD于M，連接AC通過△ABC≌△ADC，得到∠B=∠ADC，∠BAC=∠CAD=45°，根據余角的性質得到∠B=∠EAN=∠ADC，由CM⊥AM，于是得到∠ACM=∠CAM=45°，設AM=CM=a，根據已知條件得到S_△ABC=S_△ACD=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×5\sqrt{2}$=30，DM=$\sqrt{50-{a}^{2}}$，得到方程30=$\frac{1}{2}•a•（a+\sqrt{50+{a}^{2}}$），解得a=3$\sqrt{5}$或2$\sqrt{10}$，當AM=MC=3$\sqrt{5}$時，通過△AEN∽△DCM，得到$\frac{EN}{CM}=\frac{AE}{CD}$，求得AN=$\sqrt{A{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，根據勾股定理即可得到結論．

解答 解：過E作EN⊥AD于N，過C作CM⊥AD于M，連接AC
在△ABC與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠ADC，∠BAC=∠CAD=45°，
∵∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAN=90°，
∴∠B=∠EAN=∠ADC，
∵CM⊥AM，
∴∠ACM=∠CAM=45°，
設AM=CM=a，
∵AE=6$\sqrt{2}$，CD=5$\sqrt{2}$，AE⊥BC，
∴S_△ABC=S_△ACD=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×5\sqrt{2}$=30，
DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{50-{a}^{2}}$，
∵AD=AM+DM=a+DM，
∴3═$\frac{1}{2}•a•（a+\sqrt{50+{a}^{2}}$），
解得：a=3$\sqrt{5}$或2$\sqrt{10}$，
當AM=MC=3$\sqrt{5}$時，
∵∠EAN=∠ADC，∠ANE=∠CMD，
∴△AEN∽△DCM，
∴$\frac{EN}{CM}=\frac{AE}{CD}$，
∴EN=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，
∴AN=$\sqrt{A{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴ND=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=$\sqrt{E{N}^{2}+N{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
同理可得當AM=CM=2$\sqrt{10}$時，ED=8．
綜上所述：DE的長為2$\sqrt{17}$或8．
故答案為：2$\sqrt{17}$或8．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，勾股定理．正確的作出輔助線是解題的關鍵．