Question

13．點E在正方形ABCD的邊BC上，點F在AE上，連接FB，FD，∠ABF=∠AFB．
（1）如圖1，求證：∠AFD=∠ADF；
（2）如圖2，過點F作垂線交AB于G，交DC的延長線于H，求證：DH=2AG；
（3）在（2）的條件下，若EF=2，CH=3，求EC的長．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質結合正方形的性質得出AF=AD，則∠AFD=∠ADF；
（2）首先得出四邊形AGHN為平行四邊形，得出FM=MD，進而NF=NH，ND=NH，即可得出答案；
（3）首先得出△ADN≌△DCP（ASA），進而PC=DN，再利用在Rt△ABE中，BE²+AB²=AE²，求出答案．

解答 （1）證明：∵∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF；

（2）證明：如圖1所示：過點A作DF的垂線分別交DF，DH于M，N兩點
∵GF⊥DF，
∴∠GFD=∠AMD=90°，
∴AN∥GH，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AG∥NH，
∴四邊形AGHN為平行四邊形，
∴AG=NH，
∵AF=AD，AM⊥FD，
∴FM=MD，
連接NF，則NF=ND，
∴∠NFD=∠NDF，
∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H，
∴∠NFH=∠H，
∴NF=NH，
∴ND=NH，
∴DH=2NH=2AG；

（3）解：延長DF交BC于點P，如圖2所示：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠FPE，
∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE，
∴EF=EP=2，
∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC，
∴∠DAM=∠PDC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠ADN=∠DCP，
在△ADN和△DCP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠PDC}\\{AD=DC}\\{∠ADN=∠PCD}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△DCP（ASA），
∴PC=DN，
設EC=x，則PC=DN=x+2，DH=2x+4，
∵CH=3，
∴DC=AB=BC=AF=2x+1
∴AE=2x+3，BE=x+1，
在Rt△ABE中，BE²+AB²=AE²，
∴（x+1）²+（2x+1）²=（2x+3）²．
整理得：x²-6x-7=0，
解得：x₁=7，x₂=-1（不合題意，舍去）
∴EC=7．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質以及勾股定理和正方形的性質、平行四邊形的性質等知識，正確把握正方形的性質是解題關鍵．