Question

1．設t是實數，二次函數y=2x²+3tx-t的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求證：2x₂²-3tx₁+3t＞0；
（2）若A，B兩點之間的距離不超過|$\frac{3}{2}$t-1|，求t的最大值．

Answer 1

分析 先根據拋物線與x軸的交點情況，得出9t²+8t＞0，再有根與系數的關系得到，x₁+x₂=-$\frac{3t}{2}$，x₁x₂=-$\frac{t}{2}$，
（1）x₂是2x²+3tx-t=0的一根得到2x₂²+3tx₂-t=0結合前面結論判斷即可；
（2）根據兩點間的距離公式得出AB²=$\frac{9}{4}$t²+2t，（AB＞0），列出方程求解即可．

解答 解：∵二次函數y=2x²+3tx-t的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴令y=0，得2x²+3tx-t=0，
∴△=（3t）²+8t=9t²+8t＞0，
根據根與系數的關系有，x₁+x₂=-$\frac{3t}{2}$，x₁x₂=-$\frac{t}{2}$，
（1）x₂是2x²+3tx-t=0的一根，
∴2x₂²+3tx₂-t=0，
∴2x₂²-3tx₁+3t
=2x₂²+3tx₂-t-3tx₁-3tx₂+3t+t，
=-3t（x₁+x₂）+4t
=-3t×（-$\frac{3t}{2}$）+4t
=$\frac{1}{2}$（9t²+8t）＞0，
即：2x₂²-3tx₁+3t＞0；
（2）∵二次函數y=2x²+3tx-t的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（-$\frac{3t}{2}$）²+2t=$\frac{9}{4}$t²+2t，
∵A，B兩點之間的距離不超過|$\frac{3}{2}$t-1|，
∴AB≤|$\frac{3}{2}$t-1|，且AB＞0，
∴AB²≤|$\frac{3}{2}$t-1|²，
∴$\frac{9}{4}$t²+2t≤|$\frac{3}{2}$t-1|²
∴t≤$\frac{1}{5}$，
∴t的最大值為$\frac{1}{5}$．

點評 此題是拋物線與x軸交點題，主要考查了一元二次方程根的情況和韋達定理，解不等式，解此題的關鍵是韋達定理和方程根的結合應用．