Question

如圖，△ABC內，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

證明：延長AB到D，使BD=BP，連接PD．則∠D=∠5．
∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，
∠3=∠4=40°=∠C．
∴QB=QC，
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，
∴∠D=40°．
在△APD與△APC中，
AP=AP，
∠1=∠2，∠D=∠C=40°
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC．
即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．
分析：延長AB到D，使BD=BP，連接PD．則∠D=∠5．由已知條件不難算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．
于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代換即可得證．
點評：本題實際是以角平分線AP為對稱軸將△APC翻折成△APD．利用對稱變換解題常常選擇角平分線，某一線段的垂直平分線作為對稱軸．作輔助線構造全等三角形是關鍵．