Question

如圖，△ABC內接于⊙O，且∠B=60°．過點C作圓的切線l與直徑AD的延長線交于點E，AF⊥l，垂足為F，CG⊥AD，垂足為G．
（1）求證：△ACF≌△ACG；
（2）若AF=4

3

，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接CD，OC．根據圓周角定理的推論求得ADC=∠B=60°，根據直徑所對的圓周角是直角得AC⊥CD，則根據等角的余角相等得到∠ACG=∠ADC=60°，從而得到△OCD為正三角形，進一步求得∠ECD=30°，證明∠ACF=∠ACG=60°．最后根據AAS即可證明三角形全等；
（2）結合圖形，可以把陰影部分的面積轉化為三角形COE的面積減去扇形OCD的面積．根據30°的直角三角形的性質即可求得OC、CE的長，從而求解．

解答：（1）證明：如圖，連接CD，OC，則∠ADC=∠B=60°．
∵AD是圓的直徑，
∴∠ACD=90°
又∵∠ADC=∠B=60°
∴∠CAD=30°
∵EF與圓相切，
∴∠FCA=∠ADC=60°
∴直角△ACF中，∠FAC=30°，
∴∠FAC=∠CAD，
又∵CG⊥AD，AF⊥EF
∴FC=CG
則在△ACF和△ACG中：

∠FAC=∠CAD ∠AFC=∠AGC FC=CG

∴△ACF≌△ACG（AAS）．

（2）解：在Rt△ACF中，∠ACF=60°，AF=4

3

，
∴∠FAC=30°，
∴FC=

1

2

AC，
設FC=x，則AC=2x，
（2x）²-x²=（4

3

）²，
解得：x=4，
∴CF=4．
在Rt△OCG中，∠COG=60°，CG=CF=4，得OC=

4

3 2

=

8 3

3

．
在Rt△CEO中，OE=

16 3

3

．
于是S_陰影=S_△CEO-S_扇形COD=

1

2

OE•CG-

60π•OC2

360

=

32 3

3

-

32π

9

=

96 3 -32π

9

．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、30°的直角三角形的性質以及三角形和扇形的面積公式．