Question

如圖，△ABC內接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分線交⊙O于E，EF⊥AB，垂足為F．
（1）求證：EB=EC；
（2）分別求式子

AB+AC

BF

、

AB-AC

AF

的值；
（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面積．

Answer 1

分析：（1）由角平分線的定義得∠1=∠2，再根據圓內四邊形的性質得∠1=∠EBC，根據圓周角定理得∠2=∠3，利用等量代換得∠EBC=∠3，然后根據等腰三角形的判定即可得到結論；
（2）在BA上截取BD=CA，可根據“SAS”判斷△BED≌△CEA，則ED=EA，再根據等腰三角形的性質得DF=AF，然后利用等量代換可得到AB+AC=2DF，AB-AC=2AF，則易得式子

AB+AC

BF

、

AB-AC

AF

的值；
（3由（2）得到AC=BD，AF=DF，則BD=AC=3，再由AB=BD+DF+AF=AC+2AF=5得到AF=1，然后根據三角形面積公式求解．

解答：（1）證明：∵∠BAC的外角平分線交⊙O于E，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠EBC，∠2=∠3，
∴∠EBC=∠3，
∴EB=EC；

（2）解：在BA上截取BD=CA，如圖，
在△BED和△CEA中

BE=CE ∠4=∠5 BD=CA

，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴ED=EA，
∵EF⊥AD，
∴DF=AF，
∴AB+AC=BD+DF+AF+BD=BF+DF+BD=2DF，
AB-AC=BD+DF+AF-BD=2AF，
∴

AB+AC

BF

=

2BF

BF

=2，

AB-AC

AF

=

2AF

AF

=2；

（3）解：由（2）得BD=AC=3，
∵AB=BD+DF+AF=AC+2AF，
∴3+2AF=5，
∴AF=1，
而EF=3，
∴△AEF的面積=

1

2

×3×1=

3

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練運用圓周角定理和等腰三角形的判定與性質；利用三角形全等解決線段相等是常用的方法．