Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點D在線段AB上從點A運動到點B，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F.

（1）求證：CE=CF；

（2）求線段EF的最小值；

（3）當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積的大小是 ．

Answer 1

（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）如圖1，設AC交于點DE交于點G，DF交BC于H點，根據點的對稱可得EG=DG，且ED⊥AC，再根據DF⊥DE以及AB為半圓直徑可證得四邊形DGCH為矩形，因此可得CH=DG=EG，CH∥ED，再根據ASA證得△EGC≌△CHF，進而得證；

（2）如圖2，連接CD，則CD=CE，由（1）知EF=2CD，因此可判斷當線段EF最小時，線段CD也最小，根據垂直線段最短的性質，當CD⊥AD時線段CD最小，根據直徑對的圓周角是直角可知∠ACB=90°，再由AB=8，∠CBA=30°，可求得AC=4，BC=，而當CD⊥AD時，CD=BC=2，再根據EF=2CD=;

（3）當點D從點A運動到點B時，如圖3，EF掃過的圖形就是圖中的陰影部分，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，結合（2）可知S△ABC=AC.BC=，因此可求陰影部分的面積.

試題解析：

【解析】
（1）證明：如圖1，設AC交于點DE交于點G，DF交BC于H點，

∵點E與點D關于AC對稱

∴EG=DG，且ED⊥AC，

∵ DF⊥DE，

∴∠EGC=∠DGC=∠EDF=90°，

∵AB為半圓直徑，

∴∠ACB=90°.

∴四邊形DGCH為矩形.

∴CH=DG=EG，CH∥ED.

∴?E=?FCH，?EGC=?CHF.

∴△EGC≌△CHF.

∴EC=FC；

【解析】
如圖2，連接CD，則CD=CE.

由（1）知，EF=2CD，

∴當線段EF最小時，線段CD也最小，

根據垂直線段最短的性質，當CD⊥AD時線段CD最小

∵AB是半圓O 的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AB=8，∠CBA=30°，

∴AC=4，BC=，

當CD⊥AD時，CD=BC=，

此時EF=2CD=，

即EF的最小值為；

【解析】
當點D從點A運動到點B時，如圖3，

EF掃過的圖形就是圖中的陰影部分，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，

由（2）知，AC=4，BC=，

∴

∴線段EF掃過的面積是.

考點：圓周角的性質，等腰三角形，三角形全等，垂線段的性質