Question

18．（1）觀察下列圖1圖形與等式的關系，并填空：
1+3+5+7=4²
1+3+5+…+（2n-1）=n²

（2）觀察圖2，根據（1）中結論，計算圖中黑球的個數，用含有n的代數式填空：
1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1=2n²+2n+1．

Answer 1

分析 （1）設第n幅圖中球的個數為a_n，根據數的變化找出變化規律“a_n-1=n²”，依此規律即可得出結論；
（2）將圖形中的黑球分成三部分：1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，結合（1）的結論即可得出圖2中黑球的個數．

解答 解：（1）1+3+5+7=16=4²，設第n幅圖中球的個數為a_n，
觀察，發現規律：a₁=1+3=2²，a₂=1+3+5=3²，a₃=1+3+5+7=4²，…，
∴a_n-1=1+3+5+…+（2n-1）=n²．
故答案為：4²；n²．
（2）觀察圖形發現：
圖中黑球可分三部分：1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，
即1+3+5+…+（2n-1）+[2（n+1）-1]+（2n-1）+…+5+3+1，
=1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n-1）+…+5+3+1，
=a_n-1+（2n+1）+a_n-1=n²+2n+1+n²=2n²+2n+1．
故答案為：2n+1；2n²+2n+1．

點評 本題考查了規律型中數字的變化類，根據數字的變化找出變化規律是解題的關鍵．