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8.如圖,直角坐標平面內有兩點A($\sqrt{3}$,1),B(1,$1\sqrt{3}$),將△AOB繞點O逆時針方向旋轉150°得到△A′OB′,則線段AB的中點M所經過的路線長為$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π.

分析 首先根據中點坐標公式求出線段AB的中點M的坐標,再根據旋轉的性質可知M所經過的路線是以O為圓心,圓心角為150°的一段圓弧,利用弧長公式即可求解.

解答 解:∵A($\sqrt{3}$,1),B(1,$1\sqrt{3}$),
∴線段AB的中點M的坐標是($\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$),
∴OM=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}+(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$,
∵將△AOB繞點O逆時針方向旋轉150°得到△A′OB′,
∴線段AB的中點M所經過的路線長為$\frac{150π×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π.
故答案為$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π.

點評 本題考查了坐標與圖形變化-旋轉,中點坐標公式,弧長的計算公式,根據旋轉的性質得出線段AB的中點M的運動軌跡是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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