Question

8．如圖，直角坐標平面內有兩點A（$\sqrt{3}$，1），B（1，$1\sqrt{3}$），將△AOB繞點O逆時針方向旋轉150°得到△A′OB′，則線段AB的中點M所經過的路線長為$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π．

Answer 1

分析 首先根據中點坐標公式求出線段AB的中點M的坐標，再根據旋轉的性質可知M所經過的路線是以O為圓心，圓心角為150°的一段圓弧，利用弧長公式即可求解．

解答 解：∵A（$\sqrt{3}$，1），B（1，$1\sqrt{3}$），
∴線段AB的中點M的坐標是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$），
∴OM=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}+1}{2}）^{2}+（\frac{1+\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∵將△AOB繞點O逆時針方向旋轉150°得到△A′OB′，
∴線段AB的中點M所經過的路線長為$\frac{150π×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π．
故答案為$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π．

點評 本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，中點坐標公式，弧長的計算公式，根據旋轉的性質得出線段AB的中點M的運動軌跡是解題的關鍵．