Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，P為BA的延長線上一點，PC切⊙O于點C，CD⊥AB，垂足為D，且PA=4，PC=8，求tan∠ACD和sin∠P的值．

Answer 1

分析 如圖，連接OC．∠先證明△PCA∽△PBC，得$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PC}$，推出PB=16，AB=12，由$\frac{1}{2}$•PC•OC=$\frac{1}{2}$•PO•CD，求出CD=$\frac{24}{5}$，在Rt△COD中，利用OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$，求出OD，再根據tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，sin∠P=$\frac{CD}{PC}$，即可解決問題．

解答 解：如圖，連接OC．

∵PA是切線，
∴OC⊥PC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠PCO=90°，
∵∠B+∠BAC=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PC}$，
∴$\frac{8}{PB}$=$\frac{4}{8}$，
∴PB=16，AB=PB-PA=12，OC=OA=OB=6，PO=10，
∵CD⊥OP，
∴$\frac{1}{2}$•PC•OC=$\frac{1}{2}$•PO•CD，
∴CD=$\frac{24}{5}$，
在Rt△COD中，OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴AD=OA-OD=$\frac{12}{5}$，
∴tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{18}{5}}$=$\frac{2}{3}$，
sin∠P=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{\frac{24}{5}}{8}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查切線的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．