Question

已知梯形ABCD,   AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，問題：

（1）如圖1，P為AB邊上一點，以PD、PC為邊做平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？

（2）如圖2，P為AB邊上任意一點，以PD、PC為邊做平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？若果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由。

（3）P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，以PE、PC為邊做平行四邊形PCQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？若果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由。

 

（圖1）                              （圖2）                              

Answer 1

（1）問題1：因為四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形。

所以∠DPC=90  ，因為AD=1，AB=2，BC=3.所以DC=2，設PB=x,則AP=2－x,在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+ (2－x)²+1=8，化簡得x²－2x+3=0，

因為△=（－2）²－4×1×3=－8＜0，方程無解，所以對角線PQ與DC不可能相等

（２）問題2：如圖1，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，所以點G是ＤＣ的中點，

作QH⊥BC，交BC的延長線于H。因為AD∥BC，所以∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+QCH，

因為PD∥CQ，所以∠PDC=∠DCQ，所以∠ADP=∠QCH，，又PD=CQ，所以Rt△ADP≌Rt△HCQ,所以AD=HC……２分。因為AD=1，BC=3，所以BH=4，所以當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4。

（3）問題3：如圖2，設PQ與DC相較于點G。

因為PE∥CQ，PD=DE,所以，所以G是DC上一定點。作QH⊥BC，交BC的延長線于H，同理可證∠ADP=∠QCH，所以Rt△ADP∽Rt△HCQ  即，所以CH=2. 所以BH=BC+CH=3+2=5，，所以當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5.

（注：各題如有其它解法，只要正確，均可參照給分）

           (圖1)                                (圖2)