Question

4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，△FDE≌△ABC．△FDE頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE，DF分別交AC于點(diǎn)P，Q，若重疊部分△DPQ是以DP為一腰的等腰三角形，則它的面積為$\frac{5}{2}$或2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 分兩種情況：
①當(dāng)PD=PQ時(shí)，如圖1所示：
過點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則DK∥BC，作輔助線，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，列方程求解；
②當(dāng)PD=DQ時(shí)，如圖2，用輔助線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得：∠FDM=∠EDM，∠NMD=∠EDM，設(shè)MN=DN=x，利用同角的三角函數(shù)表示FN=4$\sqrt{5}$-x，由勾股定理列方程求出x的值，從而求得S_△PDQ的值．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)PD=PQ時(shí)，如圖1所示：
過點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則DK∥BC，
又∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×4$=2，
∵PD=PQ，
∴∠PQD=∠PDQ，由∠PDQ=∠B，
∴∠PQD=∠B，
又∵∠DKQ=∠C=90°，
∴△DKQ∽△ACB，
∴$\frac{KQ}{BC}=\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KQ}{4}=\frac{2}{8}$，得KQ=1，
設(shè)PD=PQ=x，則PK=x-1，
在Rt△DMK中，由勾股定理得：PK²+DK²=PD²，
即：（x-1）²+2²=x²，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴S_△PDQ=$\frac{1}{2}$PQ•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$．
②當(dāng)PD=DQ時(shí)，如圖2所示，
過D作DK⊥AC，交AC于K，交EF于M，過M作MN⊥EF，交DF于N，則MN∥DE，
∴∠FDM=∠EDM，∠NMD=∠EDM，
∴∠FDM=∠NMD，
∴MN=DN，
設(shè)MN=DN=x，
tan∠F=$\frac{DE}{EF}=\frac{MN}{FM}$=$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴FM=2x，
∵FD=AB=4$\sqrt{5}$，
∴FN=4$\sqrt{5}$-x，
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FN²=FM²+MN²，
$（4\sqrt{5}-x）^{2}={x}^{2}+（2x）^{2}$，
解得：x=5-$\sqrt{5}$，
∴ME=EF-FM=8-2x=2$\sqrt{5}$-2，
由①得：DK=2，
tan∠MDE=$\frac{ME}{DE}=\frac{KP}{DK}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{KP}{2}$，
∴KP=$\sqrt{5}$-1，
∵PD=DQ，DK⊥PQ，
∴PQ=2KP=2$\sqrt{5}$-2，
∴S_△PDQ=$\frac{1}{2}$PQ•DK=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5}$-2）×2=2$\sqrt{5}$-2，
綜上所述，重疊部分△DPQ的面積是$\frac{5}{2}$或2$\sqrt{5}$-2；
故答案為：$\frac{5}{2}$或2$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，等腰三角形的定義采用分情況討論的方式，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理得出方程是解題關(guān)鍵．