Question

直線y=kx+4分別于x軸、y軸相交于點A、B，O是坐標原點，A點的坐標為（4，0），P是OB上（O、B兩點除外）的一點，過P作PC⊥y軸交直線AB于C，過點C作CD⊥x軸，垂足為D，設線段PC的長為l，點P的坐標為（0，m）
（1）求k的值；
（2）如果點P在線段OB（O、B兩點除外）上移動，求l于m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當點P運動到線段OB的中點時，四邊形OPCD為正方形，將正方形OPCD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為a（0＜a＜4），正方形OPCD于△AOB重疊部分的面積為S．試求S與a的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）將A點的坐標為（4，0），代入解析式即可求出k的值；
（2）求出圖象與y軸的交點坐標，利用三角形的相似可以求出L與m的關系式；
（3）利用當0＜a≤2時，當2≤a＜4時，分別求出即可．

解答：解：（1）∵y=kx+4與x軸相交于點A，
∴將A點的坐標為（4，0），代入y=kx+4，得：
0=4k+4，
∴k=-1；

（2）由k=-1，可知一次函數解析式為：y=-x+4，
∴它與y軸的交點坐標為：（0，4），
∴OB=OA=4，
根據已知可畫出圖象，如圖所示：
∵設線段PC的長為l，點P的坐標為（0，m），PC⊥y軸，
∴PC∥OA，
∴PC=BP，
∵PB=4-m，PC=L，
∴L=-m+4，
∵點P在線段OB（O、B兩點除外）上移動
∴自變量的取值范圍是：0＜m＜4，
∴L=-m+4（0＜m＜4），

（3）∵當點P運動到線段OB的中點時，四邊形OPCD為正方形，
∴正方形OPCD邊長為2，面積為；4；
①當0＜a≤2時，
設平移中PC與直線y=-x+4交于E，PD與直線y=-x+4交于F，
由已知可得：CE=CF=a，
S_△EFC=

1

2

a²，S_陰影=4-

1

2

a²=-

1

2

a²+4（0＜a≤2），
②當2≤a＜4時，
設平移中PO與直線y=-x+4交于G，
由已知可得出：OG=OA=4-a，
S_陰影=

1

2

（4-a）²=

1

2

a²-4a+8（2≤a＜4），
∴S_陰影=

- 1 2 a2+4(0＜a≤2) 1 2 a2-4a+8(2≤a＜4)

．

點評：此題主要考查了一次函數與坐標軸交點的求法，以及相似三角形的性質和三角形面積求法等知識，題目中得出OA=OB，利用三角形相似得出L與m的關系，這種相似形的應用題型是中考中熱點問題．