Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b分別與x軸負半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，⊙P經過點A、點B（圓心P在x軸負半軸上），已知AB=10，AP=

25

4

．
（1）求點P到直線AB的距離；
（2）求直線y=kx+b的解析式；
（3）在⊙P上是否存在點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作PC垂直AB于點C．求出AC的值后可求出PC的長．
（2）證明△APC∽△ABO，利用線段比求出OB．再利用勾股定理求得OA．繼而求出直線AB的解析式．
（3）假設存在點Q，求出PQ的長．得出點Q在⊙P外．

解答：解：（1）作PC⊥AB于點C．
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×10=5，
∴PC=

PA2-AC2

=

( 25 4 )2-52

=

15

4

．

（2）∵△APC∽△ABO，
∴

PC

OB

=

AP

AB

即

15 4

OB

=

25 4

10

．
∴OB=6，∴OA=

AB2-OB2

=

102-62

=8．
∴A（-8，0），B（0，6）．
∴

-8k+b=0 b=6

．∴

k= 3 4 b=6

．
∴直線AB的解析式為y=

3

4

x+6．

（3）當菱形ABPQ時，AB=BP．
∵AB=10，BP=AP=

25

4

，
∴AB≠BP．
當菱形APBQ時，若延長PC交⊙P于點Q，則PC=CQ．
∵PC=

15

4

，CQ=PQ-PC=

25

4

-

15

4

=

5

2

，
∴PC≠CQ．
綜上所述，⊙P上不存在點Q，使A、P、B、Q為頂點的四邊形．

點評：本題考查的是一次函數的性質，勾股定理的應用等相關知識，難度中上．